L’incertezza e le strutture

Quando iniziamo a concepire un edificio, sia esso una “semplice” villetta o il più ardito dei grattacieli, il processo di progettazione e costruzione deve tenere in conto di innumerevoli aspetti; ci concentreremo sulla struttura portante il cui compito è sostenere l’edificio.

L’utente di un edificio si aspetta che sia innanzitutto sicuro; per la struttura portante questo vuol dire che il pavimento del nostro appartamento al terzo piano non crolli quando invitiamo molti amici per la festa di Capodanno oppure che l’intero edificio non collassi dopo una nevicata copiosa o durante una tempesta o un terremoto.

Dobbiamo quindi assicurarci che la capacità  portante R della struttura sia in ogni punto sempre superiore alle sollecitazioni S che la investono: R>S

L’esperienza ci insegna che le sollecitazioni S sono variabili, ed anche di molto, nel tempo: l’affollamento di un’aula scolastica, di un teatro, la forza del vento, il peso della neve, le scossa di un terremoto sono tutti carichi estremamente variabili col tempo; le aule di notte sono vuote, mentre i teatri sono pieni tendenzialmente solo la sera; la neve in estate c’è solo sui ghiacciai ed un tornado coi suoi devastanti venti solitamente tormenta ogni zona per poche ore, quando non minuti. La prima di queste sollecitazioni è il carico utile, ovvero il motivo principale dell’esistenza della struttura mentre le altre – vento, neve, sisma – sono “solo” accidentali.

Il carico cosiddetto utile è composto anche dalla massa di tutte le parti “portate”: impianti, tramezzi, pavimenti eccetera. Tra queste ce ne sono di sostanzialmente note come i pavimenti la cui conformazione è stabilita a priori; pertanto conosciamo i materiali e quindi la loro densità /massa volumica, geometria e spessori; il calcolo della massa che si appoggia sulla struttura portante è agevole. Gli impianti – elettrico, idraulico, trattamento aria – sono in prima battuta trascurabili, con la sola esclusione delle grosse macchine trattamento aria (leggi condizionatori, scambiatori di calore) che però solitamente non si trovano nelle piccole unità  di abitazione che qua trattiamo.

I tramezzi sono una categoria di carichi portati la cui tipologia è¨ sì ben definita mentre assai meno lo sono la loro disposizione effettiva all’interno delle varie unità  immobiliari. Spesso chi acquista un immobile in fase di costruzione desidera stabilire lui stesso la dimensione dei locali, spostando i tramezzi a suo piacere e questo rende la posizione del carico ignota a priori, aleatoria.

Nella categoria dei carichi utili di un edificio di civile abitazione annoveriamo anche mobilio e suppellettili. Quanti di noi si sono mai presi la briga di pesare il proprio divano, l’armadio, il letto, il tavolo, la cucina? Credo nessuno. Eppure i loro pesi non sono affatto trascurabili, specie nel caso della libreria colma di volumi. Anche questo è una fonte di variabilità  nell’entità dei carichi.

Eppur in qualche modo dovremo ben costruirci un modello di questi carichi. In questo ci arriva in soccorso la ricerca dell’ultimo mezzo secolo condensata nella normativa, sotto forma di EuroCodici e di Decreti Ministeriali. Da queste ricaviamo utili e sintetiche indicazioni su come calcolare un valore numero “indicativo” o caratteristico del carico e della sollecitazione che ci interessano.

Il metodo che illustreremo è  quello Semiprobabilistico agli Stati Limite(( previsto oramai da quasi tutte le normative mondiali )). I metodi di verifica di sicurezza più aderenti alla realtà  richiederebbero di valutare la diseguaglianza S<R notando che entrambe sono funzioni di grandezze come la sollecitazioni, la geometria, le resistenze dei materiali le quali andrebbero trattate tutte come variabili aleatorie, ovvero la cui conoscenza è affetta da incertezza perché variabili nel tempo (sollecitazioni) o perché non note con precisione al momento del progetto (imperfezioni nella geometria e resistenze effettive); dovremmo valutare sulla base di rilievi statistici l’effettiva distribuzione di probabilità  di ognuna, per poi andare ad eseguire il calcolo, estremamente oneroso, dell’effettiva probabilità  di collasso.

Il metodo semiprobabilisto agli stati limite, o metodo dei coefficienti di sicurezza parziali allevia di molto l’onere computazionale; dando per assodato che sollecitazioni e resistenze siano variabili aleatorie si trovano per entrambe dei valori caratteristici (( indicati con pedice k)): sollecitazioni che siano superate poco frequentemente (S_k frattile 95%), e resistenze che siano molto frequentemente raggiunte (R_k frattile 5%).

Questi valori caratteristici sono stimanti per le resistenze a partire dal valore atteso (o valor medio) ed una stima di quanto sia variabile, ovvero conoscendone la varianza (o lo scarto quadratico medi0), secondo la formula:

R_{k} = R_m - k \sigma

Nel caso la distribuzione di probabilità  sia una normale Gaussiana il valore di k corrispondente ad una probabilità  di 5% k = 1,64. Nel caso dei calcestruzzi la normativa italiana utilizza un valore di k=1,4.

Solitamente si stimano (( è  solo una stima, perché il valore esatto si potrebbe calcolare solo disponendo di tutta la popolazione)) i valori di resistenza media Rm e di scarto quadratico medio ? con le formule

R_m = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N} R_i

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (R_i-R_m)^2}{N-1}}

Per chi si fosse spaventato per la seconda, è meno cattiva di quanto sembri a prima vista. Nota la media $R_m$ per ogni osservazione calcoliamo lo scostamento dalla media $R_i – R_m$ e ne prendiamo il quadrato, in modo che scostamenti in sù ed in giù si sommino al posto di annullarsi. Di questi quadrati facciamo una media “corretta” (( il perché di quel “N-1″ in vece di N richiede una spiegazione piuttosto articolata che trovate trattata in altre sedi )) con una radice quadrata annulliamo l’effetto di quel quadrato. Quello che rimane è una misura della variabilità ? delle osservazioni, ovvero quanto “ballano” all’insù o all’ingiù rispetto alla media.

Certo mi direte, ma è davvero così rilevante quando si parla di resistenza meccanica dei materiali? Sì, perché l’effetto che questa variabilità  sulla la capacità  portante di una struttura non è affetto trascurabile. Ora sebbene una volta che la struttura è costruita la resistenza meccanica del materiale non è più aleatoria conoscere il suo effettivo valore è ben lungi dall’essere semplice o agevole; è sempre possibile eseguire prove sperimentali e prelievi di materiali ma tutto questo ha un costo economico ed un impegno di persone e mezzi che può essere evitato o mitigato dando prescrizioni sul valore caratteristico. Inoltre il loro valore effettivo non è noto a priori prima dell’inizio della costruzione.

Nei casi che qui trattiamo solitamente ci limitiamo agli edifici di civile abitazione con struttura portante in calcestruzzo armato (ed in alcuni casi acciaio) e tamponamenti in laterizio. Acciaio e calcestruzzo sono prodotti da processi industriali che sono affetti da ineliminabili variabilità  del prodotto finito: l’acciaio di colata non è sempre uguale, potrà  avere un maggiore o minore contenuto di carbonio e di impurità  che ne modificano le caratteristiche; la resistenza meccanica del clinker componente fondamentale dei cementi con cui sono impastati i calcestruzzi è influenzata dalla temperatura di cottura e da quanto velocemente esso è raffreddato una volta cotto. Certo si cerca di ridurre il più possibile queste variabilità  ma esse sono sempre presenti seppur di entità  ragionevolmente ridotta. Inoltre le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo preconfezionato possono essere alterate significativamente durante la posa in opera dalle maestranze che per facilitare il lavoro di posa aumentano la fluidità  dei getti tramite indebite aggiunte d’acqua che riducono sensibilmente le resistenze meccaniche ottenibili.

Per questo è buona norma ed è richiesto dalla normativa vigente (( cap. 11 del DM 14.1.2008  )) che il Direttore Lavori prelievi campioni di barre di acciaio e di calcestruzzo per verificare la corrispondenza delle resistenze meccaniche. Se andiamo a confezionare dei provini del calcestruzzo in uso in un cantiere edile osserveremo sempre una certa differenza tra le caratteristiche meccaniche, nel suo peso ma soprattutto nella sua resistenza meccanica a compressione, che è quella per la quale i materiali lapidei, cementizi ed i laterizi vengono utilizzati.

Ipotizziamo di aver confezionato, maturato e provato a compressione una serie di campioni e di aver ottenuto le seguenti resistenze meccaniche (ordinate dalla più bassa alla più alta), espresse in N/mm² (MPa):

Su che livello di resistenza meccanica possiamo fare affidamento, ovvero che resistenza caratteristica ha? Ovviamente usare il valor medio 35,0 non è proprio possibile perchè avremmo un gran numero di campioni con resistenza più bassa. Se usassimo questo valore ci troveremmo con strutture che collassano con molta facilità. Abbiamo così bisogno di misurare anche il livello di variabilità, ovvero lo scostamento di ogni singolo valore dal valore più rappresentativo (( solitamente il valor medio è considerato il valore più rappresentativo. Questo perlomeno in prima battuta, prima di ogni qualsivoglia ipotesi di come possano essere distribuiti tutti i possibili valori della grandezza che stiamo analizzando )). Questi valori hanno uno scarto quadratico medio di 2,2Mpa.
Questa produzione rispetta i requisiti richiesti ad un calcestruzzo C25/30, ovvero Rck 30, previsti dal DM al punto 11.2.5:

Rm=30,5>Rck–3,5[Mpa]
Rck>RM–1,4σ=35,0–1,42˙,2=32,0[Mpa]

Il solo valor minimo, nè quello medio e tantomeno il massimo valore riscontrati non sono affatto indicativi della bontà del produzione. Confrontiamo infatti la serie di cui sopra con una apparentemente migliore:

La seconda produzione ha una resistenza minima maggiore ed una serie di valori molto alti eppure presenta una resistenza caratteristica insufficiente. Perchè? A causa dell’alto scarto della produzione, pari a ben 5,4 Mpa che inficia il valore di resistenza media di 37,4Mpa, ben più alto dei 35 della prima. Intuitivamente possiamo pensare che se abbiamo trovato un campione di ben 8,5 Mpa più alto della media (46) potremmo anche trovarne uno al di sotto della media di tale entità. Ed infatti la resistenza caratteristica della seconda produzione è “solo” Rck=Rm–1,4σ=37,4–1,4×5,4=29,9 Mpa.

Risulta quindi desiderabile un materiale che risulti più omogeneo da una partita all’altra piuttosto uno che sia mediamente migliore ma che presenti una maggiore variabilità.

Nota: Questo pezzo è stato scritto per introdurre persone digiune di statistica a concetti come l’aleatorietà delle sollecitazioni che agiscono su un edificio e l’influenza che la variabilità della geometria delle membrature portanti delle caratteristiche meccaniche dei materiali hanno sulla effettiva sicurezza di un edificio. Il linguaggio è volutamente semplificato ed il registro quasi informale perchè questa non vuole essere una trattazione “scientifica” e neppure rigorosa dell’argomento ma solo un modo per avvicinare alcuni studenti alla materia in modo il più possibile avvincente.

Quando iniziamo a concepire un edificio, sia esso una “semplice” villetta o il più ardito dei grattacieli, il processo di progettazione e costruzione deve tenere in conto di innumerevoli aspetti; concentrandoci sulla struttura portante possiamo individuare due attori principali: la struttura stessa e le sollecitazioni che dovrà sopportare.

L’utente di un edificio si aspetta che la struttura portante sia innanzitutto sicura, ovvero che il pavimento del nostro appartamento al terzo piano non crolli quando invitiamo molti amici per una festa oppure che l’intero edificio non collassi dopo una nevicata copiosa o durante una tempesta o un terremoto.

Dobbiamo quindi assicurarci che la capacità portante R della struttura sia in ogni punto sempre superiore alle sollecitazioni S che la investono:

R>S

L’esperienza ci insegna che le sollecitazioni S sono variabili nel tempo: l’affollamento di un’aula scolastica, di un teatro, la forza del vento, il peso della neve, le scossa di un terremoto sono tutti carichi estremamente variabili col tempo; le aule di notte sono vuote, mentre i teatri sono pieni tendenzialmente solo la sera; la neve in estate c’è solo sui ghiacciai ed un tornado coi suoi devastanti venti solitamente tormenta ogni zona per poche ore, quando non minuti.

Meno immediato è riconoscere che anche la capacità portante di una struttura è affetta da incertezze ed aleatorietà affatto trascurabili. Tra le principali cause che contribuiscono a questa variabilità riconosciamo la geometria delle membrature portanti e le caratteristiche meccaniche dei materiali con cui sono costruite.

Affrontiamo per prima le caratteristiche meccaniche dei materiali. Un profano si potrebbe aspettare che le qualità meccaniche dei materiali da costruzione siano praticamente costanti. Mentre

Prima di andare ad analizzare per intero il caso della sezione inflessa

Nei casi che qui trattiamo solitamente ci limitiamo agli edifici di civile abitazione con struttura in calcestruzzo armato (ed in alcuni casi acciaio) e tamponamenti in laterizio.

Tutti i materiali sono caratterizzati da una intrinseca variabilità delle loro caratteristiche, nel caso di nostro interesse di caratteristiche meccaniche. Se andiamo a confezionare dei provini del calcestruzzo in uso in un cantiere edile osserveremo sempre una certa differenza tra le caratteristiche meccaniche, nel suo peso ma soprattutto nella sua resistenza meccanica a compressione, che è quella per la quale i materiali lapidei, cementizi ed i laterizi vengono utilizzati⁴.

Ipotizziamo di aver confezionato, maturato e provato a compressione una serie di campioni e di aver ottenuto le seguenti resistenze meccaniche:

R =

Su che livello di resistenza meccanica possiamo fare affidamento, ovvero fino a che livello possiamo spingerci a caricare quel materiale prima che la struttura diventi pericolosa? Per rispondere a questa domanda ci viene incontrol la statistica, che ci permette di calcolare, sotto opportune ipotesi, quale sia la probabilità di trovare un campione con resistenza inferiore.

Usare il valor medio, ovvero $ \overline{R} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} R_i$ non è sufficiente, perchè avremmo un gran numero di campioni con resistenza più bassa. Se usassimo questo valore ci troveremmo con strutture che collassano con molta facilità. Abbiamo così bisogno di misurare anche il livello di variabilità, ovvero lo scostamento di ogni singolo valore dal valore più rappresentativo⁵. Scarto quadratico medio, ovvero $ \sigma = \frac{\sqrt{\sum_1^n (R_i-\bar{R})}}{n-1} $

Prendiamo due serie di valori dalla media uguale a 36 ma dal valore di varianza differente, ovvero

$ R _i = 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39� \to \sigma \simeq 2,16 $

$ R_i = 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42 \to \sigma \simeq 4,32 $

L’intuito ci dice che

�

�

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Questi ultimi tre sono caratterizzati da un comportamento elasto-fragile: la crisi avviene sempre in modo improvviso. A questo dobbiamo aggiungere che la resistenza di questi materiale alla trazione ed alla flessione � assai limitata, controbilanciata da una apprezzabile resistenza alla compressione.